高二数学椭圆题及解析
第一部分：基础知识梳理
知识点一椭圆的定义
平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满足集合，，且都为常数。
当即时，集合P为椭圆。
当即时，集合P为线段。
当即时，集合P为空集。
知识点二椭圆的标准方程
（1），焦点在轴上时，焦点为，焦点。
（2），焦点在轴上时，焦点为，焦点。
知识点三椭圆方程的一般式
这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：
（其中为同号且不为零的常数，），它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。
当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。
一般式，通常也设为，应特别注意均大于0，标准方程为。
知识点四椭圆标准方程的求法
1.定义法
椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。
例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B（-1,0）C（1,0），求满足，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。
变式练习1.在△ABC中，点B（-6,0）、C（0,8），且成等差数列。
（1）求证：顶点A在一个椭圆上运动。
（2）指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。
2.待定系数法
首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满足的等式，求得的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。
例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P（3,0），=3b，求椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。
变式练习2.求适合下列条件的椭圆的方程;
(1)两个焦点分别是（-3,0），（3,0）且经过点（5,0）.
（2）两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.
3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。
4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程。
知识点五共焦点的椭圆方程的求解
一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为。
例4、过点（-3,2）且与有相同焦点的椭圆的方程为（）
A.B.C.D.
变式练习5.求经过点（2，-3）且椭圆有共同焦点的椭圆方程。
知识点六与椭圆有关的轨迹问题的求解方法
与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。迹，其基本思路是设出轨迹上一点和已知曲线上一点，建立其关系，再代入。
例5、已知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段,点在上，并且,求点的轨迹。
知识点七与弦的中点有关问题的求解方法
直线与椭圆相交于两点、,称线段为椭圆的相交弦。与这个弦中点有点的轨迹问题是一类综合性很强的题目，因此解此类问题必须选择一个合理的方法，如“设而不求”法，其主要特点是巧代线段的斜率。其方程具体是：设直线与椭圆相交于两点，坐标分别为、，线段的中点为，则有
①式-②式，得，即
∴
通常将此方程用于求弦中点的轨迹方程。
例6.已知：椭圆，求：
（1）以P（2，-1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的相交弦中点的轨迹方程；
（3）过Q（8,2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。
第二部分：巩固练习
1.设为椭圆的焦点，P为椭圆上一点，则的周长是（）
A.16B.8C.D.无法确定
2.椭圆的两个焦点之间的距离为（）
A.12B.4C.3D.2
3.椭圆的一个焦点是（0,2），那么等于（）
A.-1B.1C.D.-
4.已知椭圆的焦点是，P是椭圆上的一个动点，如果延长到,使得,那么动点的轨迹是（）
A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线
5.已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是__________.
6.椭圆的焦点坐标是___________.
7.椭圆的焦距为2，则正数的值____________.